Siano,
due insiemiinsiemi
una "legge", ovvero una specie di predicatopredicato, oppure una relazionerelazione speciale che ad ogni valore di associa uno e uno solo valore di ; cioè se , allora (si legge esiste solo un valore di in ) è associato a ()
Allora la terna viene definita come funzione.

L'insieme si dice il dominio della funzione.
L'insieme si dice il codominio della funzione.
La "legge" è una regola che ad ogni elemento del dominio associa uno e uno solo elemento del codominio .

Con la scrittura compatta la terna può essere definita esplicitamente anche mediante la seguente notazione.

In questo corso si studieranno le cosiddette funzioni di reale variabile, ovvero le funzioni , con .

Sia una funzione.
Se , il valore viene definita come il valore immagine di , una specie di "proiezione" del valore del dominio.

Riprendendo i presupposti di prima, si definisce l'insieme di tutti i valori immagine come l'insieme immagine e lo si indica con

Siano Si definisce la funzione composita, letta come " dopo ".
Si illustra la funzione composita tramite il seguente diagramma (figura 4.1.).

Sia , ; allora si definiscecome l'immagine di un pezzo del dominio .

Sia Supponiamo che esista una funzione , tale che, ove la funzione d'identità su un insieme viene rappresentata da , si dice che la funzione è la funzione inversa di .
Si illustra la funzione inversa di con un diagramma (figura 6.1.).

Sia ove .
Allora definisco l'insieme contro immagine (o pre-immagine) di ovvero gli elementi di tali per cui le loro immagini appartengono all'insieme .

Sia e diciamo che questa sia monotona se sussistono una delle seguenti condizioni:

In particolare,

• se sussiste la i., allora la funzione è crescente;
• invece per la ii., la funzione si dice strettamente crescente.
• Analoghi i discorsi per iii, iv. in cui diciamo che la funzione è decrescente o strettamente decrescente.
  

Siano , sia simmetrico rispetto all'origine (ovvero .

Sia la funzione e la chiamo:

• Una funzione pari se
• Una funzione dispari se