data: 2023-10-01
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzioni - Sommario
tipologia: sommario
stato: "0"A. Funzioni
Tutto sulle funzioni (in generale, non sullo specifico delle funzioni di variabile reale).
data: 2023-10-01
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzioni
tipologia: appunti
stato: "1"Tutto sulle funzioni: dalla definizione di base alle proprietà specialissime.
L'insieme
L'insieme
La "legge"
Con la scrittura compatta la terna può essere definita esplicitamente anche mediante la seguente notazione.
Siano
FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
In questo corso si studieranno le cosiddette funzioni di reale variabile, ovvero le funzioni
Secondo questa definizione di funzione, le sue proprietà non cambiano solamente per la legge
Si osservi la figura 1.2..
Si nota che la parte rossa è definibile come funzione, invece la parte verde non lo è, in quanto ci sono più elementi di
FIGURA 1.2. (Osservazione 1.2.)
Sia
Se
Riprendendo i presupposti di prima, si definisce l'insieme di tutti i valori immagine come l'insieme immagine e lo si indica con
Siano
Si nota che
FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Se
La funzione
Siano
Siano
Infatti si dimostra che
Riprendendo la medesima funzione
Lo si dimostra che non è suriettiva prendendo un valore
Dopodiché si dimostra che non è neanche iniettiva tramite un controesempio; prendiamo
Se una funzione
Siano
FIGURA 4.1. (Definizione 4.1.)
Siano
Ovviamente da questo esempio si nota che non è sempre vero che
Sia
Si rappresenta il grafico della funzione
Dal grafico si evince chiaramente che
FIGURA 6.1. (Esempio 6.1.)
Sia
Si illustra la funzione inversa di
FIGURA 6.1. (Definizione 6.1.)
Una funzione
Sia
Allora definisco l'insieme contro immagine (o pre-immagine) di
Sia
In particolare,
Si nota che il termine "monotònono", usata per per indicare che la funzione rispetta la condizione delineata dalla definizione 8.1., viene pronunciata ponendo l'accento sulla terza o! Infatti con l'altra maniera di pronunciare, "monòtono", questo termine acquisisce un significato completamente diverso, che a sua volta può portare un'accezione negativa.
Siano
Sia la funzione
Osserviamo la funzione potenzapotenza (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^2b25baFunzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^2b25ba)
La definizione appena data da noi ci "suggerisce" che per
FIGURA 9.1. (Esempio 9.1.)
Sia
Le funzioni trigonometriche sono periodiche: infatti secondo la proposizione 2.3. sulle funzioni trigonometriche (Funzioni trigonometriche > ^189c92Proposizione 7 (seno e coseno sono funzioni periodiche)), abbiamo
FIGURA 10.1. (Esempio 10.1.)
Sia
Allora definiamo
Se
ATTENZIONE! Notiamo che se possiamo avere più di uno punti di massimo (minimo), ci ricordiamo che il massimo (minimo) della funzione è l'immagine del punto: dunque in quanto tale può esistere un unico valore massimo dell'insieme immagine
Sia
Allora sappiamo che i punti di massimo di
L'illustrazione di questo esempio mediante grafici è lasciato al pubblico per esercizio.
Guardiamo alla funzione
Invece
Anche questo esempio è lasciato al pubblico da illustrare per esercizio.
Si lascia al lettore verificare se
Sia
Allora
FIGURA 12.1. (Idea del concetto)
Consultare la pagina Asintoto di una funzioneAsintoto di una funzione.
Consultare la pagina Derivata Successiva e Classe CDerivata Successiva e Classe C
data: 2023-11-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Asintoto di una funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di asintoto di una funzione.
Per capire il concetto di asintoto di una funzione è necessario aver presente prima i seguenti argomenti:
Sia
Se esiste il limite
FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Se invece esiste il limite
FIGURA 1.2. (Idea grafica)
Se invece
Ovvero graficamente si vedrà che "a lungo andare verso l'infinito la funzione segue la traiettoria della retta".
FIGURA 1.3. (Idea grafica)
Se abbiamo una funzione che presenta limite della forma
"L'algoritmo" per trovare questo consiste in due passi:
data: 2023-11-28
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzione Convessa
tipologia: appunti
stato: "1"Osservazioni geometrici preliminari; definizione di funzione convessa. Significato geometrico della convessità
Supponiamo di avere il piano cartesiano
Allora considero il vettore geometrico relativo al segmento
Ponendo un numero qualsiasi che chiamo
FIGURA 0.a. (Idea grafica)
Sia
La funzione
Ora vediamo cosa vuol dire la definizione data sopra.
Seguendo l'osservazione preliminare (oss. 0.a) svolta prima (^a47002Osservazione 1 (punti del segmento tra due punti)), notiamo che il membro destro della disuguaglianza è sostanzialmente un punto qualsiasi della retta passante per
Invece a sinistra notiamo che
Inoltre dato che
FIGURA 1.1. (Idea geometrica)
Notiamo che una funzione
Nota: questa osservazione è sta svolta con i miei occhi, quindi non fa né parte degli appunti né delle dispense.
data: 2023-11-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Studio di Funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Schema "generale" e "riassuntivo" di quello che potrebbe essere lo svolgimento di uno studio di funzione
In questo articolo si elencheranno dei "step" principali, che sono da svolgere generalmente in uno studio di funzione; ovviamente al variare di esercizio potranno sorgere delle necessità diverse.
Quindi anche lo schema che presenterò dovrebbe essere generalmente valido, però bisogna comunque stare attenti ad eventuali "sorprese" da parte del testo.
Questo procedimento riguarderà la consegna "principale" di uno studio di funzione: ovvero quella di realizzare un disegno (approssimativo) della funzione richiesta
Trovare il dominio per cui è definita la funzione.
Questo problema è elementare in quanto considerare il dominio delle funzioni elementari (Funzioni di potenza, radice e valore assolutoFunzioni di potenza, radice e valore assoluto, Funzioni trigonometricheFunzioni trigonometriche, Funzione esponenziale e LogaritmicaFunzione esponenziale e Logaritmica), farci un sistema e prendere l'insieme più "restrittivo".
Trovare i punti in cui la funzione incrocia con l'asse dell'ascissa e delle ordinate.
Per trovare i punti per cui
Nel secondo caso si tratterebbe di trovare una soluzione all'equazione
Anche qui il problema è elementare, in quanto di solito basta far "ricondurre" il segno delle funzioni complicate a quelle elementari.
Dopodiché è anche utile controllare se la funzione è pari o dispari calcolando
Ad esempio, una funzione pari ha i segni "riflessi".
Qui bisogna sapere come calcolare i limiti (Definizione di Limite di funzioneDefinizione di Limite di funzione); allora questa parte richiederà un po' di tecnica con i limiti.
In particolare è utile calcolare i limiti per
A questo punto sarebbe già opportuno fare una "bozza" del disegno della funzione, giusto per avere un'idea generale.
In realtà questa parte è più una "conseguenza" di quella di calcolare i limiti; in particolare si vuole, se opportuno, trovare eventuali asintoti obliqui (Asintoto di una funzione > ^74920dDefinizione 3 (asintoto obliquo)) mediante la tecnica descritta (Asintoto di una funzione > ^8bab7eProposizione 4 (tecnica per "trovare" asintoti obliqui)).
Qui basta sapere come calcolare la derivata (Derivata e derivabilità > ^ae9417Definizione 6 (funzione derivata)) di una qualsiasi funzione.
Analogamente qui bisogna trovare il segno della derivata prima per determinare la (de)crescenza della funzione
Stessa cosa della funzione derivata (ovvero lo step VI), solo che si considera la derivata della derivata. Ovvero la derivata seconda di
Secondo i risultati dell'analisi matematica (Caratterizzazione delle Funzioni ConvesseCaratterizzazione delle Funzioni Convesse), il segno della seconda derivata della funzione può determinare il "modo" in cui curva il grafico; se
Ogni tanto negli appelli si potrebbe trovare di fronte ad un quesito del tipo: al variare di una grandezza
Solitamente l'equazione si presenta in una maniera analoga della funzione studiata nello stesso esercizio, quindi basta riportare l'equazione in "forma" della funzione.
Di solito conviene fare questo esercizio alla fine dello studio di funzione, quando si ha già un buon disegno della funzione; in questo modo si può "tracciare" la linea orizzontale
data: 2023-10-25
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esercizi sulle funzioni
tipologia: appunti
stato: "1"Alcuni esercizi misti sulle funzioni
Questo appunto contiene degli esercizi misti sull'argomento delle FunzioniFunzioni. Notare che alcuni esercizi potrebbe richiedere già di essere preparati nell'argomento delle funzioni di variabile reale, ovvero Funzioni di potenza, radice e valore assolutoFunzioni di potenza, radice e valore assoluto e/o Funzioni trigonometricheFunzioni trigonometriche.
Dal 29.11.2023 in poi questa scheda conterrà anche degli esercizi sullo studio delle funzioni, sulla dimostrazione di certe proprietà di alcune funzioni partendo da certe proprietà ipotetiche.
Pertanto gli esercizi richiederanno anche la conoscenza dei seguenti macroargomenti:
Qui si propone degli esercizi misti sulle funzioni svolte durante le lezioni dell'A.A. 2023-2024, in cui basta conoscere delle definizioni.
ESERCIZIO 1.a. Sia
ESERCIZIO 1.b. Sia
ESERCIZIO 1.c. Data la funzione
ESERCIZIO 1.d. Data la funzione
Lezione 26
#Esercizio
Si disegni il grafico della funzione
Si disegni il grafico della funzione
Inoltre, si dica al variare di
Si disegni il grafico della funzione