A. Funzioni

Tutto sulle funzioni (in generale, non sullo specifico delle funzioni di variabile reale).


Funzioni

Tutto sulle funzioni: dalla definizione di base alle proprietà specialissime.


1. Definizione generale di Funzione

Definizione 1 (funzione).

Siano,
due insiemi
una "legge", ovvero una specie di predicato, oppure una relazione speciale che ad ogni valore di associa uno e uno solo valore di ; cioè se , allora (si legge esiste solo un valore di in ) è associato a ()
Allora la terna viene definita come funzione.

Definizione 2 (dominio, codominio e legge).

L'insieme si dice il dominio della funzione.
L'insieme si dice il codominio della funzione.
La "legge" è una regola che ad ogni elemento del dominio associa uno e uno solo elemento del codominio .

Definizione 3 (scrittura esplicita di una funzione).

Con la scrittura compatta la terna può essere definita esplicitamente anche mediante la seguente notazione.

Esempio 4 (Esempio 1.1.).

Siano , e ; allora si rappresenta il grafico della funzione nella figura 1.1..

FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Pasted image 20231001210256.png

Definizione 5 (funzione di reale variabile).

In questo corso si studieranno le cosiddette funzioni di reale variabile, ovvero le funzioni , con .

Osservazione 6 (la definizione di funzione non dipende solo dalla legge).

Secondo questa definizione di funzione, le sue proprietà non cambiano solamente per la legge , ma anche per gli insiemi .

Osservazione 7 (esempio di funzione e di non-funzione).

Si osservi la figura 1.2..

Si nota che la parte rossa è definibile come funzione, invece la parte verde non lo è, in quanto ci sono più elementi di associati ad un elemento di ; quindi si parte da un valore e tutti devono avere un solo corrispondente .

FIGURA 1.2. (Osservazione 1.2.)
Pasted image 20231001210310.png

2. L'immagine di una funzione

Definizione 8 (valore immagine di un punto di una funzione).

Sia una funzione.
Se , il valore viene definita come il valore immagine di , una specie di "proiezione" del valore del dominio.

Definizione 9 (l'insieme immagine di una funzione).

Riprendendo i presupposti di prima, si definisce l'insieme di tutti i valori immagine come l'insieme immagine e lo si indica con

Esempio 10 (Esempio 2.1.).

Siano , . Allora dalle definizioni appena date abbiamo (l'insieme dei numeri pari);

Osservazione 11 (l'insieme immagine è sempre sottoinsieme del codominio).

Si nota che .

FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Pasted image 20231001210325.png

3. Iniettività, suriettività e biiettività

Funzione suriettiva (o surgettiva)

Definizione 12 (funzione suriettiva).

Se Allora la funzione si dice suriettiva (oppure come lo chiamano i pisani, surgettiva).

Esempio 13 (Esempio 3.1.).

La funzione (tratto dall'esempio 2.1., Esempio 10 (Esempio 2.1.)) non è surgettiva se si definisce ; invece lo è se si definisce .

Funzione iniettiva (o ingettiva)

Definizione 14 (funzione iniettiva).

Siano Supponendo che Allora si dice che la funzione è iniettiva (oppure in pisano ingettiva).

Esempio 15 (Esempio 3.2.).

Siano (dove la notazione indica tutti i numeri ). La funzione è suriettiva, in quanto . Inoltre è anche iniettiva.

Infatti si dimostra che è iniettiva; se , (quindi ) allora moltiplicando da ambo le parti per e per , si ottengono:

Esempio 16 (Esempio 3.2.).

Riprendendo la medesima funzione dall'esempio 3.1. e cambiando gli insiemi , la funzione non è più né suriettiva né iniettiva.

Lo si dimostra che non è suriettiva prendendo un valore ; si dimostra che (guardando il grafico), pertanto .

Dopodiché si dimostra che non è neanche iniettiva tramite un controesempio; prendiamo (quindi ) e i valori immagini di sono , , pertanto .

Funzione biiettiva

Definizione 17 (funzione biiettiva).

Se una funzione è sia iniettiva e sia suriettiva, allora si dice che è biiettiva (o "bigettiva" in pisano).

4. Funzione composta

Definizione 18 (funzione composta).

Siano Si definisce la funzione composita, letta come " dopo ".
Si illustra la funzione composita tramite il seguente diagramma (figura 4.1.).

FIGURA 4.1. (Definizione 4.1.)
Pasted image 20231001210342.png

Esempio 19 (Esempio 4.1.).

Siano Allora

Osservazione 20 ().

Ovviamente da questo esempio si nota che non è sempre vero che .

5. L'immagine di un pezzo del dominio

Definizione 21 (l'immagine di un pezzo del dominio).

Sia , ; allora si definiscecome l'immagine di un pezzo del dominio .

Esempio 22 (rappresentazione grafica).

Si rappresenta il grafico della funzione , . Si vuole trovare (e rappresentare) .
Dal grafico si evince chiaramente che .

FIGURA 6.1. (Esempio 6.1.)
Pasted image 20231001210354.png

6. La funzione inversa

Definizione 23 (funzione inversa).

Sia Supponiamo che esista una funzione , tale che, ove la funzione d'identità su un insieme viene rappresentata da , si dice che la funzione è la funzione inversa di .
Si illustra la funzione inversa di con un diagramma (figura 6.1.).

FIGURA 6.1. (Definizione 6.1.)
Pasted image 20231001210403.png

Teorema 24 (condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione inversa ).

Una funzione ha la sua inversa se e solo se è biettiva, ovvero se è sia iniettiva che suriettiva.

7. L'insieme contro immagine di una funzione

Definizione 25 (insieme contro / pre - immagine di una funzione).

Sia ove .
Allora definisco l'insieme contro immagine (o pre-immagine) di ovvero gli elementi di tali per cui le loro immagini appartengono all'insieme .

8. Monotonia di una funzione

Definizione 26 (monotonia di una funzione).

Sia e diciamo che questa sia monotona se sussistono una delle seguenti condizioni:

Definizione 27 (funzione strettamente/non crescente o decrescente).

In particolare,

  • se sussiste la i., allora la funzione è crescente;
  • invece per la ii., la funzione si dice strettamente crescente.
  • Analoghi i discorsi per iii, iv. in cui diciamo che la funzione è decrescente o strettamente decrescente.
Osservazione 28 (la "corretta" pronuncia del termine).

Si nota che il termine "monotònono", usata per per indicare che la funzione rispetta la condizione delineata dalla definizione 8.1., viene pronunciata ponendo l'accento sulla terza o! Infatti con l'altra maniera di pronunciare, "monòtono", questo termine acquisisce un significato completamente diverso, che a sua volta può portare un'accezione negativa.

9. Parità o disparità di una funzione

Definizione 29 (funzione pari o dispari).

Siano , sia simmetrico rispetto all'origine (ovvero .

Sia la funzione e la chiamo:

  • Una funzione pari se
  • Una funzione dispari se
Esempio 30 (esempio di funzioni pari o dispari).

Osserviamo la funzione potenza (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^2b25ba) .
La definizione appena data da noi ci "suggerisce" che per pari, è una funzione pari; similmente è dispari se è dispari (figura 9.1.).

FIGURA 9.1. (Esempio 9.1.)
Pasted image 20231025224442.png

10. Periodicità di una funzione

Definizione 31 (funzione periodica).

Sia un numero, tale che Sia ora una funzione del tipo è periodica se è vera che

Esempio 32 (le funzioni trigonometriche sono periodiche).

Le funzioni trigonometriche sono periodiche: infatti secondo la proposizione 2.3. sulle funzioni trigonometriche (Proposizione 7 (seno e coseno sono funzioni periodiche)), abbiamo . Ovvero analogo il discorso per .

FIGURA 10.1. (Esempio 10.1.)
Pasted image 20231025225605.png

11. Massimo e minimo assoluto di una funzione

Definizione 33 (Punto di massimo e minimo assoluto).

Sia , .
Allora definiamo punto di massimo assoluto se abbiamo
Alternativamente è punto di minimo assoluto se abbiamo

Definizione 34 (massimo e minimo di una funzione).

Se è punto di massimo (minimo) assoluto, allora il valore immagine (Definizione 8 (valore immagine di un punto di una funzione)) si dice massimo (minimo) assoluto della funzione.

Osservazione 35 (ci possono essere più punti di massimo ma solo un massimo).

ATTENZIONE! Notiamo che se possiamo avere più di uno punti di massimo (minimo), ci ricordiamo che il massimo (minimo) della funzione è l'immagine del punto: dunque in quanto tale può esistere un unico valore massimo dell'insieme immagine .

Esempio 36 (Esempio 11.1. Funzione ).

Sia .
Allora sappiamo che i punti di massimo di è costituita dalla classe di equivalenza
Analogamente i punti di minimo di sono
Tuttavia il massimo e minimo di sono ; infatti

L'illustrazione di questo esempio mediante grafici è lasciato al pubblico per esercizio.

Esempio 37 (Esempio 11.2. Funzione con dominio ristretto).

Guardiamo alla funzione , ovvero una funzione del tipo
Notiamo che non ha massimo, perché dunque non ha (anche se resta che esiste ).
Invece ha minimo con .

Anche questo esempio è lasciato al pubblico da illustrare per esercizio.

Esercizio 38 (Esercizio 11.3. Funzione ).

Si lascia al lettore verificare se ha massimo e/o minimo per il suo dominio.

12. Massimo e minimo relativo di una funzione

Definizione 39 (max, min relativo).

Sia , , .
Allora è punto di massimo (minimo) relativo se vale che

FIGURA 12.1. (Idea del concetto)
Pasted image 20231122210444.png

13. Asintoto di una funzione (argomento avanzato)

14. Classe C di una funzione (argomento avanzato)

A1. Asintoto

Asintoto di una funzione
Asintoto di una funzione

Definizione di asintoto di una funzione.


0. Argomenti propedeutici

Per capire il concetto di asintoto di una funzione è necessario aver presente prima i seguenti argomenti:

1. Definizione di asintoto

Definizione 1 (asintoto orizzontale).

Sia una funzione a variabile reale.
Se esiste il limite
Allora è un asintoto orizzontale a .

FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Pasted image 20231127220412.png

Definizione 2 (asintoto verticale).

Se invece esiste il limite
allora è un asintoto verticale.

FIGURA 1.2. (Idea grafica)
Pasted image 20231127220530.png

Definizione 3 (asintoto obliquo).

Se invece tali che
Allora la retta
è asintoto obliquo a .
Ovvero graficamente si vedrà che "a lungo andare verso l'infinito la funzione segue la traiettoria della retta".

FIGURA 1.3. (Idea grafica)
Pasted image 20231127220721.png

2. Tecnica per "testare" asintoti obliqui

Proposizione 4 (tecnica per "trovare" asintoti obliqui).

Se abbiamo una funzione che presenta limite della forma
Allora sarà opportuno provare a vedere se questa presenta un asintoto obliquo.
"L'algoritmo" per trovare questo consiste in due passi:

  1. Vedere se esiste il seguente limite; in tal caso calcolarlo e chiamare il tale limite .
  2. Se il primo step è andato a buon fine, allora vedere se esiste finito il seguente limite; in tal caso calcolarlo e chiamarlo .
    Se è tutto andato a buon fine, allora abbiamo l'asintoto obliquo

A2. Concavità/convessità della funzione

Funzione Convessa
Funzione Convessa

Osservazioni geometrici preliminari; definizione di funzione convessa. Significato geometrico della convessità


0. Osservazione preliminare

Osservazione 1 (punti del segmento tra due punti).

Supponiamo di avere il piano cartesiano (Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano > ^61dab9) e voglio rappresentare il segmento tra i punti
Ovvero ho una situazione grafica raffigurata in figura 0.1..
Allora considero il vettore geometrico relativo al segmento
Ora voglio trovare un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso ma la intensità è più piccola di . Come faccio?
Ponendo un numero qualsiasi che chiamo e "restringendolo" in pongo il seguente vettore
Ora per considerare tutti i punti del segmento del vettore faccio la somma di uno dei punti considerati all'inizio con il vettore scalato per ;
Questo vale lo stesso se scambio con e altrettanto con (ovviamente per rimanere consistenti li si scambia sin dall'inizio!).

FIGURA 0.a. (Idea grafica)
Pasted image 20231128210526.png

1. Definizione di Funzione Convessa

Definizione 2 (funzione convessa o concava).

Sia ( intervallo) (Intervalli)
La funzione si dice convessa se prendendo qualsiasi due punti nell'intervallo , uno più grande dell'altro, allora succede il seguente:
Se invece è convessa, allora si dice concava.

Osservazione 3 (significato geometrico).

Ora vediamo cosa vuol dire la definizione data sopra.
Seguendo l'osservazione preliminare (oss. 0.a) svolta prima (Osservazione 1 (punti del segmento tra due punti)), notiamo che il membro destro della disuguaglianza è sostanzialmente un punto qualsiasi della retta passante per , se si considera .
Invece a sinistra notiamo che non è altro che una combinazione lineare di (Definizione 1 (Definizione 1.1. (combinazione lineare))).
Inoltre dato che , si deduce che questa combinazione lineare vive in
Pertanto la disuguaglianza di definizione vuol semplicemente dire che è convessa se la retta passante tra sta "sempre in alto (o ugualmente alto)" di qualsiasi punto della funzione tra

FIGURA 1.1. (Idea geometrica)
Pasted image 20231128212937.png

Osservazione 4 (concavità e convessità simultanea).

Notiamo che una funzione è sia concava che convessa se vale che
Notiamo che il "risultato" di questa implicazione è il fatto che sia un'applicazione lineare in quanto si vede valgono le proprietà di definizione AL (ovvero l'additività e l'omogeneità) (Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo)). Pertanto può essere solo una retta.
Nota: questa osservazione è sta svolta con i miei occhi, quindi non fa né parte degli appunti né delle dispense.

B. Studio di funzione

Studio di Funzione
Studio di Funzione

Schema "generale" e "riassuntivo" di quello che potrebbe essere lo svolgimento di uno studio di funzione


0. Preambolo

In questo articolo si elencheranno dei "step" principali, che sono da svolgere generalmente in uno studio di funzione; ovviamente al variare di esercizio potranno sorgere delle necessità diverse.
Quindi anche lo schema che presenterò dovrebbe essere generalmente valido, però bisogna comunque stare attenti ad eventuali "sorprese" da parte del testo.

1. Procedimento generale

Questo procedimento riguarderà la consegna "principale" di uno studio di funzione: ovvero quella di realizzare un disegno (approssimativo) della funzione richiesta

I. Dominio della funzione

Trovare il dominio per cui è definita la funzione.
Questo problema è elementare in quanto considerare il dominio delle funzioni elementari (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto, Funzioni trigonometriche, Funzione esponenziale e Logaritmica), farci un sistema e prendere l'insieme più "restrittivo".

II. Incrocio con le assi

Trovare i punti in cui la funzione incrocia con l'asse dell'ascissa e delle ordinate.
Per trovare i punti per cui incrocia con la retta delle ordinate basta sostituire con . Ovviamente questo è possibile solo se appartiene al dominio di .
Nel secondo caso si tratterebbe di trovare una soluzione all'equazione ; però non è sempre scontato che sia sempre possibile trovare punti in cui la funzione incontra l'asse ; infatti, ad esempio non incrocia con da nessuna parte.

III. Segno della funzione e parità

Anche qui il problema è elementare, in quanto di solito basta far "ricondurre" il segno delle funzioni complicate a quelle elementari.
Dopodiché è anche utile controllare se la funzione è pari o dispari calcolando ; in questo modo abbiamo un'automatismo utile per vedere se ciò che stiamo svolgendo sia giusto o meno, in quanto il segno della funzione e la parità sono correlate.
Ad esempio, una funzione pari ha i segni "riflessi".

IV. Limiti agli estremi e punti particolari

Qui bisogna sapere come calcolare i limiti (Definizione di Limite di funzione); allora questa parte richiederà un po' di tecnica con i limiti.
In particolare è utile calcolare i limiti per che tende a , e ad alcuni punti per cui non è definita. Ovviamente qui serve la discrezione personale, in quanto in alcuni casi non ci sarebbe neanche il senso di farlo.
A questo punto sarebbe già opportuno fare una "bozza" del disegno della funzione, giusto per avere un'idea generale.

V. Trovare gli eventuali asintoti

In realtà questa parte è più una "conseguenza" di quella di calcolare i limiti; in particolare si vuole, se opportuno, trovare eventuali asintoti obliqui (Definizione 3 (asintoto obliquo)) mediante la tecnica descritta (Proposizione 4 (tecnica per "trovare" asintoti obliqui)).

VI. Funzione derivata (prima)

Qui basta sapere come calcolare la derivata (Definizione 6 (funzione derivata)) di una qualsiasi funzione.

VII. Segno della derivata prima (crescenza e decrescenza)

Analogamente qui bisogna trovare il segno della derivata prima per determinare la (de)crescenza della funzione ; questa è determinabile in questo modo in quanto conseguenza del teorema di Lagrange (Teorema 5 (la derivata positiva significa funzione crescente)).

VIII. Funzione derivata (seconda)

Stessa cosa della funzione derivata (ovvero lo step VI), solo che si considera la derivata della derivata. Ovvero la derivata seconda di .

IX. Segno della derivata seconda (concavità e convessità)

Secondo i risultati dell'analisi matematica (Caratterizzazione delle Funzioni Convesse), il segno della seconda derivata della funzione può determinare il "modo" in cui curva il grafico; se è positiva, allora è "concava in alto", altrimenti è "concava in basso".

2. Esercizio particolare

Ogni tanto negli appelli si potrebbe trovare di fronte ad un quesito del tipo: al variare di una grandezza reale, trovare quante soluzioni ci sono per la seguente equazione...
Solitamente l'equazione si presenta in una maniera analoga della funzione studiata nello stesso esercizio, quindi basta riportare l'equazione in "forma" della funzione.
Di solito conviene fare questo esercizio alla fine dello studio di funzione, quando si ha già un buon disegno della funzione; in questo modo si può "tracciare" la linea orizzontale e vedere quante volte questa "incrocia" la funzione.

C. Esercizi sulle funzioni

Esercizi sulle funzioni
Esercizi sulle funzioni

Alcuni esercizi misti sulle funzioni


0. Info

Questo appunto contiene degli esercizi misti sull'argomento delle Funzioni. Notare che alcuni esercizi potrebbe richiedere già di essere preparati nell'argomento delle funzioni di variabile reale, ovvero Funzioni di potenza, radice e valore assoluto e/o Funzioni trigonometriche.

Dal 29.11.2023 in poi questa scheda conterrà anche degli esercizi sullo studio delle funzioni, sulla dimostrazione di certe proprietà di alcune funzioni partendo da certe proprietà ipotetiche.
Pertanto gli esercizi richiederanno anche la conoscenza dei seguenti macroargomenti:

  • La Continuità delle Funzioni
  • Calcolo Differenziale

1. TIPOLOGIA A. DEFINIZIONI MISTE

Qui si propone degli esercizi misti sulle funzioni svolte durante le lezioni dell'A.A. 2023-2024, in cui basta conoscere delle definizioni.

ESERCIZIO 1.a. Sia Si determini: Con il grafico della funzione da disegnare.

ESERCIZIO 1.b. Sia Determinare .

ESERCIZIO 1.c. Data la funzione , trovare

ESERCIZIO 1.d. Data la funzione Disegnare e determinare

2. TIPOLOGIA B. STUDIO DI FUNZIONE

Lezione 26
#Esercizio

Esercizio 1 (Esercizio B1.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando il suo dominio, segno, limiti, asintoti e la prima derivata.

Esercizio 2 (Esercizio B2.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando il suo dominio, segno, i suoi limiti, e la sua derivata prima.
Inoltre, si dica al variare di , quante sono le soluzioni di

Esercizio 3 (Esercizio B3.).

Si disegni il grafico della funzione
Studiando ciò che è necessario, evidenziando i suoi asintoti obliqui.